a / Votre chiffre préféré :
a-1/ Voici un joli tour basé sur la propriété du nombre 12345679. Attention, le 8 n’y est pas.
Demandez à un ami quel est son chiffre préféré.
Si par exemple c’est 5, proposez-lui de calculer le produit de 12345679 par 9 fois ce chiffre cad 12345679 x 9 x 5 = 12345679 x 45.
Il trouve un nombre composé uniquement de la répétition de son chiffre préféré : 555 555 555
Si votre ami répond 3 alors il devra multiplier 12345679 par 27 et il trouvera 333 333 333.
Explication :
Tout repose sur la propriété : 12345679 x 9 = 111 111 111
Ainsi si le chiffre préféré de votre ami est 6, il suffit de lui faire calculer 12345679 par 54 qui 9×6.
Nous aurons : 12345679 x 54 = 12345679 x 9 x 6
. = 111 111 111 x 6
. = 666 666 666.
a-2/ Dans le même style mais plus simple et moins spectaculaire :
Prévoir pour lui une machine à calculer ou une feuille de papier pour effectuer les calculs.
| Procédure | Exemple |
|---|---|
| Demander à un ami quel est son nombre préféré. | 21 |
| Multiplier ce nombre par 3. | 21 x 3 = 63 |
| Puis additionner 3. | 63 + 3 = 66 |
| Puis multiplier encore le résultat par 3. | 66 x 3 = 198 |
| Additionnez tous les chiffres du résultat jusqu’il n’y ai plus qu’un seul chiffre. Ce dernier chiffre sera un 9 !!! | 1 + 9 + 8 = 18 donc : 1 + 8 = 9 |
| Si vous me donnez le résultat de la dernière multiplication, je peux même vous donnez le nombre de départ. | 198 / 9 = 22 et 22 – 1 = 21 |
Explication :
| Procédure | Exemple |
|---|---|
| Demander à un ami quel est son nombre préféré. | y |
| Multiplier ce nombre par 3. | y x 3 = 3y |
| Puis additionner 3. | 3y + 3 |
| Puis multiplier encore le résultat par 3. | (3y + 3) x 3 = 9y + 9 = 9 (y + 1) |
| Additionner tous les chiffres du résultat jusqu’il n’y ai plus qu’un seul chiffre. Ce dernier chiffre sera un 9 !!! | Donc on obtient un multiple de 9. |
| Si vous me donnez le résultat de la dernière multiplication, je peux même vous donnez le nombre de départ. | 9 (y + 1) / 9 = y + 1 |
b / Je devine le résultat :
b-1/ TOUR DE MAGIE :
| Je devine le résultat | Exemple |
|---|---|
| Prenez un nombre de trois chiffres. Choisir des nombres non palindromes. | N = 853 |
| (le 1ier est différent du dernier) | |
| Formez un deuxième nombre en renversant l’ordre des chiffres. | Nr = 358 |
| Soustraire le plus petit du plus grand. | M = N – Nr = 495 |
| Retournez ce nouveau nombre. | Mr = 594 |
| Ajoutez ces deux nombres. | M + Mr = 495 + 594 |
| Le résultat est toujours. | = 1 089 |
Mise en scène : Avant de faire le tour, inscrire 1089 sur un papier.
Retourner ce papier (ou le mettre dans une enveloppe).
Faire le tour indiqué. Avant de donner le résultat final, pariez que vous avez devinez le nombre qui va arriver.
Note
Il est plus facile de faire ce tour en ayant une calculette.
À la fin avant d’appuyer sur le signe égal, dire je te parie que j’ai deviné le résultat
Attention
Choisir des nombres non palindromes, car le retourné est identique et leur différence est nulle.
Exemple: 323 – 323 = 0
| Tour de magie | Exemple | Explications |
|---|---|---|
| Prenez un nombre de trois chiffres. Choisir des nombres non palindromes. | N = 853 | N = 100.a + 10.b + c. |
| Formez un deuxième nombre en renversant l’ordre des chiffres. | Nr = 358 | Nr = 100.c + 10.b + a |
| Soustraire le plus petit du plus grand. | M = N – Nr= 495 | M = N – Nr = 100a – 100c + c – a = 100a – 100c – 100 + 90 + 10 + c – a = 100( a – c – 1) + 90 + 10 + c – a |
| Retournez ce nouveau nombre. | Mr = 594 | Mr = 100(10 + c – a) + 90 + a – c – 1 |
| Ajoutez ces deux nombres. | S = M + Mr = 1089 | S = M + Mr = 100( a – c – 1) + 90 + 10 + c – a + 100(10 + c – a) + 90 + a – c – 1 = 100 (10-1) + 90 + 90 + 10 – 1 |
| Le résultat est toujours : | S = 1 089 | S = 900 + 180 + 9 = 1 089 |
b-2/ TOUR DE MAGIE n°2 : Avec machine à calculer.
| Tour de magie | Exemple |
|---|---|
| Le magicien inscrit un nombre sur un papier qu’il plie. | 26473 |
| Mentalement il supprime le premier chiffre et l’ajoute au dernier. | 6 473 + 2 = 6 475 |
| Il inscrit ce nombre sur un tableau. | 6475 |
| Un spectateur inscrit un nombre de 4 chiffres. | 8523 |
| Le magicien inscrit un nombre de 4 chiffres: en fait, le complément à 9. | 1476 |
| Un nouveau chiffre du spectateur. | 3914 |
| Le magicien aussi, toujours le complément à 9. | 6085 |
| Le magicien tire un trait et fait la somme des nombres bleus. | 26473 |
| Le billet du début est déplié et on voit le même nombre. | 26473 |
Explications : – Le nombre 6 475 écrit en premier est égal au nombre de départ 26 473 moins 20 000 plus 2.
Donc : 26 473 = 6 475 – 2 + 20 000 = 6 475 + 19 998 = 6 475 + 9 999 x 2
– Chaque additions spectateur + magicien = 9 999 (6 475 + 8 523 = 9 999)
– Il faut donc effectuer autant de tour que le chiffre des dix-mille du nombre de départ. Dans l’exemple c’était 2.
b-3/ TOUR DE MAGIE n°3 : Avec les identités remarquables.
| Explications | Exemple | Formulation |
|---|---|---|
| Pense à un nombre | 5 | n |
| Multiplie-le par lui-même. On l’appelle A. | 25 | n² |
| Ajoute 1 à ton nombre de départ | 6 | n + 1 |
| Multiplie-le par lui-même. On l’appelle B. | 36 | (n + 1)² = n² + 2n + 1 |
| Soustrait le plus grand du plus petit (cad A – B ou B – A) | 36 – 25 = 11 | 2n + 1 |
| Donne-moi le résultat. Je devine que ton nombre est 5. | Je retranche 1 au résultat et je divise par 2 : 11 – 1 = 10 et 10/2 = 5. |
Nous avons utilisé le développement du carré, une identité remarquable.
c / Je devine votre âge :
c-1 / Version n°1 :
1/ Choisissez un nombre d’un chiffre, et gardez-le secret.
2/ Multipliez-le par 9.
3/ A ce résultat, enlevez 10 fois votre âge.
4/ Donnez-moi ce dernier résultat, et je vous donne votre âge.
Réponse :
Nombre choisit : y
Age à 2 chiffres : bc ? 10b + c
9y – 10( 10b + c) = 9y – 100b – 10c
. = -1( 100b + 10c – 9y)= -1( 100b + 10c – 10y + y)
. = -1( 100b + 10(c – y) + y)
. ? ? ?
. 100aines 10aines Unités
Le nombre donné à la 4éme étape, est un nombre négatif de 3 chiffres. Par exemples EFG :
E = b (10aines de l’âge)
G = y ( Le nombre choisit )
F = c – y ? c = F + y ( Unités de l’âge )
Exemple : y = 5 et l’âge est de 37 ans.
9 x 5 – 37 x 10 = – 325 ? 3 = b (10aines de l’âge)
. 5 = y ( Le nombre choisit )
. 7 = 2 + 5 ( Unités de l’âge )
c-2 / Version n°2 :
Prenez votre jour de naissance et multiplier le par 12.
Prenez votre mois de naissance et multiplier le par 37.
Ajoutez ces deux produits.
Soit
j le jour de naissance
m le mois de naissance.
Appelons z le résultat obtenu.
Le reste de la division de z par 12 nous donne donc le nombre m.
m étant connu, il suffit alors d’effectuer la division de z – 37 m par 12 pour obtenir le jour j .
z = 12 j + 37 m
j = ( z – 37m ) / 12
Cours sur la division Euclidienne et le modulo :
La division euclidien de a par b donne : a = b × q + r
a est congru à r modulo b ou a = r mod (b)
exemple :
43 est congru à 1 modulo 7 car 43 = 7 x 6 + 1.
Le reste de la division euclidienne de 43 par 7 est 1.
On écrit : 43 = 1 mod(7).
L’astuce pour faciliter le calcul réside ici dans le choix du nombre 37 dont le reste dans la division par 12 est 1.
Soit
j le jour de naissance
m le mois de naissance.
Appelons z le résultat obtenu.
Nous avons donc : z = 12 j + 37 m
z = 12 j + 37 m
z = ( 12 j + 0 ) + ( 3 x 12 + 1 ) m
z = 12 x ( j + 3m ) + m
z = m mod(12)
Donc le reste de z dans la division par 12 est celui de m.
Or, comme le montre le tableau ci-dessous, pour tous les mois entre 1 et 11, m est égal au reste dans la division par 12.
Quant à 12 (décembre) son reste est 0 et m est égal à 0.
| Mois | Numéro du mois m | Reste de m/12 |
|---|---|---|
| Janvier | 1 = 12 × 0 + 1 | 1 |
| Février | 2 = 12 × 0 + 2 | 2 |
| Mars | 3 = 12 × 0 + 3 | 3 |
| Avril | 4 = 12 × 0 + 4 | 4 |
| Mai | 5 = 12 × 0 + 5 | 5 |
| Juin | 6 = 12 × 0 + 6 | 6 |
| Juillet | 7 = 12 × 0 + 7 | 7 |
| Aout | 8 = 12 × 0 + 8 | 8 |
| Septembre | 9 = 12 × 0 + 9 | 9 |
| Octobre | 10 = 12 × 0 + 10 | 10 |
| Novembre | 11 = 12 × 0 + 11 | 11 |
| Décembre | 12 | 0 |
| 37 | 37 = 12 x 3 + 1 | 1 |
Le reste de la division de z par 12 nous donne donc le nombre m.
m étant connu, il suffit alors d’effectuer la division de z – 37 m par 12 pour obtenir le jour j .
z = 12 j + 37 m
j = ( z – 37m ) / 12
Exemple : Jour de naissance : 21 Mars
Multiplier le jour de naissance par 12 : 21 x 12 = 252
Multiplier le n° du mois de naissance par 37 : 37 x 3 = 111
Somme des 2 produits : 252 + 111 = 363
363 = 12 x 30 + 3 : donc le reste est 3 et il correspond au mois de Mars.
363 – 37 x 3 = 363 – 111 = 252
252 / 12 = 21 : donc le jour est le 21.
d / Je devine votre mois de naissance et votre âge :
| Question | Exemple |
|---|---|
| Prenez le mois de votre naissance en nombre | 6 |
| Multipliez par 2 | 12 |
| Ajoutez 5 | 17 |
| Multipliez par 50 | 850 |
| Ajoutez 1 761 | 2603 |
| Retranchez votre année de naissance : 1971 | 640 |
| Donnez-moi le résultat trouvé | |
| Réponse : | |
| Vous êtes né en | 6 = JUIN |
| Cette année tu feras | 40 ans |
Explications :
| Formalisation : | Explications : |
|---|---|
| Vous êtes né au mois | x |
| Votre année de naissance | A |
| Votre âge en 2011 | a = 2011 – A |
| Calcul | |
| Prenez le mois de votre naissance en nombre | x |
| Multipliez par 2 | 2x |
| Ajoutez 5 | 2x + 5 |
| Multipliez par 50 | 100x + 250 |
| Ajoutez 1761 | 100x + 2011 |
| Retranchez votre année de naissance : 1971 | 100x + 2011 – (2011 – a) |
| Donnez-moi le résultat trouvé | 100x + a |
| Commentaire : Magie! eh, bien non. Petit tour de passe-passe basée sur l’année 2011 déguisée et une multiplication par 100 qui isole le mois de naissance. | X = Le mois de naissance a = l’âge que tu feras cette année ( -1 si l’anniversaire est passé : on est avant le mois x). |
Vous pouvez inventer de nombreux tours comme cela. Avec celui proposé, changer 1761 selon l’année courante.
Année actuelle – 250 = 2011-250 = 1761
e / Je devine votre chiffre:
1/ Choisissez un chiffre (entre 0 et 9 !!!), et gardez-le secret.
2/ Multipliez-le par 8 547.
3/ Multipliez le résultat par 13.
4/ Donnez-moi ce dernier résultat, et je vous donne le chiffre du début.
Réponse :
Chiffre choisit : y
y x 8 547 x 13 = y x 111 111 = yyy yyy
f / Je devine votre nombre :
| Trouver le nombre | Exemple |
|---|---|
| Choisir un nombre N entre 1 et 100 | 79 |
| Divisez N par 3, par 5 puis par 7 | |
| Donnez-moi le reste à chaque fois : R3, R5, R7 | R3 = 1 R7 = 2 R5 = 4 |
| Vous pouvez inventer de nombreux tours comme cela. Avec celui proposé, changer 1761 selon l’année courante. Année actuelle – 250 = 2011-250 = 1761 | 1 x 70 + 4 x 21 + 2 x 15 = 184 et 184 – 105 = 79 |
Explications :
| Explications : | Exemple |
|---|---|
| Choisir un nombre N entre 1 et 100 | N |
| Divisez N par 3, par 5 puis par 7 | |
| Donnez-moi le reste à chaque fois : R3, R5, R7 | R3 = 1 R7 = 2 R5 = 4 |
| Le nombre de départ était : | 1 x 70 + 4 x 21 + 2 x 15 = 184 et 184 – 105 = 79 |
g/ Fibonacci-Zeckendorf :
Il s’agit d’une variante à la Fibonacci-Zeckendorf d’un tour qui utilise habituellement l’écriture binaire du nombre à deviner.
Commencez par imprimer la page au format pdf où sont représentées les cartes.
Vous pouvez ensuite découper ou non les dix cartes contenant des nombres de 1 à 100.
Un nombre à deviner
Le tour est très simple : vous allez devoir deviner un nombre entier.
Demandez à une personne de l’assistance de penser à un nombre entier entre 1 et 100, sans vous donner la valeur de ce nombre.
Présentez à cette personne, successivement, les cartes en lui demandant de vous indiquer celles où figure le nombre.
Solution
Additionnez les premières valeurs des cartes sélectionnées, vous retrouverez le nombre choisi.
Exemple : Le nombre 100 se trouve sur trois cartes. En haut et à gauche de ces cartes sont inscrits 3, 8 et 89 dont la somme est justement : 100 = 3 + 8 + 89 = F 4 + F6 + F11.
Explication : Le système de numération utilisé est la représentation de Zeckendorf des nombres entiers positifs. Ceux-ci s’écrivent de manière unique comme sommes de nombres de Fibonacci Fi (dont les rangs i>1 diffèrent entre eux d’au moins deux unités).
Pour obtenir la décomposition d’un naturel, soustrayez successivement les plus grands nombres de Fibonacci possibles.
Variantes du jeu
Suite de Lucas
Une variante utilise les nombres de la suite de Lucas.
Jeu classique
Les cartes utilisées généralement pour ce jeu sont basées sur l’écriture binaire du nombre entier.
h/ La somme impossible :
Demander à quelqu’un de choisir un nombre de 5 chiffres.
Noter sur un papier ce même nombre de 5 chiffres auquel on ajoutera 2 devant (cad 20 000) et on enlèvera 2 au chiffre des unités. Cacher ce nombre ce sera la somme finale !!
Lui demander d’en noter un autre au-dessus et au-dessous.
A vous de noter à présent 2 nouveaux nombres de 5 chiffres au-dessus et au-dessous des 3 autres.
On obtient :
Nombre A Le votre
Nombre B Ceux rajouté par le cobaye
Nombre C Celui de départ de votre cobaye
Nombre D Ceux rajouté par le cobaye
Nombre E Le votre
Faire la somme des 5 nombres de 5 chiffres. Une belle addition que l’on peut deviner sans problème grâce à l’astuce suivante. Les 2 nombres A et E que vous allez ajouter, doivent être tel que A+B = D+E = 9 999 (simple a faire puisqu’il suffit que la somme de chaque classe de nombre fasse 9).
La somme obtenue sera le nombre C de départ auquel on aura ajouté 2 devant (cad 20 000) et enlever 2 au chiffre des unités.
Exemple :
. 06 875
+93 124
+13 456
+87 601
+12 398
213 454
Explication :
fg hij j+u = i+y = ….. = h+m = g+n = 9
+zr tyu Donc : A+B = D+E = 9 + 90 + 900 + 9 000 + 90 000
+ab cde = 99 9999
+pq sgh
+wx vnm
2ab cd(e-2)
Et ainsi la somme devient :
10 000a + 1 000b + 100c + 10d + e + 2×99 999 = 200 000 + 10 000a + 1 000b + 100c + 10d + e -2
et en effet 199 998 = 200 000 – 2
i/ Je retrouve votre symbole :
Pensez à un nombre comportant deux chiffres. Soustrayez de ce nombre chacun des deux chiffres qui le composent. Enfin, retrouvez le symbole qui correspond au résultat obtenu dans le tableau ci-dessous.
Le symbole correspondant à votre nombre est : $
Explication :
Pensez à un nombre comportant deux chiffres ab
Soustrayez de ce nombre chacun des deux chiffres qui le composent 10a + b – a – b = 9a
Enfin, retrouvez le symbole qui correspond au résultat obtenu dans le tableau ci-dessous ce sera un multiple de 9. Or ces nombres correspondent tous au symbole $. Donc, quoi qu’il arrive, on tombera toujours sur le symbole $ !
j/ L’addition fantastique :
Tu vas écrire sur une feuille deux nombres (de 9 chiffres au maximum), l’un en dessous de l’autre.
Ajoute-les. Écrit la somme obtenue sous les deux premiers nombres.
Recommence avec les deux derniers nombres et place cette somme sous les autres.
Continue ainsi jusqu’à obtenir une liste de 10 nombres écrits les uns en dessous des autres.
Je te propose un exemple en commençant avec les deux nombres 7 et 5.
7 5 12 17 29 46 75 121 196 317
Maintenant si tu me donnes seulement le 4ème nombre en partant de la fin (sur l’exemple c’est 75) je vais te donner immédiatement la somme de tes 10 nombres inscrits.
Explications : Il suffit de multiplier le 7ième nombre par 11 : 75 11 = 825
Regardons le cas général pour bien comprendre ce résultat.
Si l’on part de deux nombres quelconques a et b, nous obtenons :
a
b
a + b
a + 2b
2a+ 3b
3a + 5b
5a + 8b
8a + 13b
13a + 21b
21a + 34b
La somme des 10 nombres est 55a + 88b et on a bien 11(5a + 8b) = 55a + 88b
k/ Les 2 chiffres devinés :
Demandez à un spectateur (il peut prendre une calculette) :
– de choisir deux chiffres entre 1 et 9. (le premier peut-être quelconque.)
– de multiplier le premier par 20.
– d’ajouter le deuxième au résultat.
– d’ajouter encore 2.
– de multiplier le tout par 5.
– de retrancher 4 fois le deuxième nombre.
– et d’annoncer son résultat.
Annoncez- lui en 2 secondes les deux chiffres choisis !!!
Explications : Le résultat trouvé sera de la forme a1b, donc les deux chiffres choisis sont a et b.
Exemple : pour un résultat 418, les deux chiffres choisis sont 4 et 8.
Les deux chiffres choisis sont a et b.
En multipliant par 20 le premier, on obtient 20a.
En ajoutant le deuxième au résultat, cela fait 20a + b.
En ajoutant encore 2, cela devient 20a + b + 2.
En multipliant le tout par 5, on obtient 5(20a + b + 2).
Puis, en retranchant 4 fois le deuxième nombre, cela fait 5(20a + b + 2) – 4b = 5(20a + b + 2) – 4b
. = 100a + 5b + 10 – 4b
. = 100a + 10 + b.
Le résultat trouvé est de la forme a1b.
l/ La somme impossible bis :
Écrivez sur un papier un nombre entre 40 000 et 49 995, pliez-le et donnez-le à un spectateur pour qu’il le mette dans sa poche.
Sur une feuille, écrivez un nombre entier de 4 chiffres.
Demandez au spectateur d’écrire en dessous un autre nombre de 4 chiffres.
Écrivez un troisième nombre de 4 chiffres en dessous.
Demandez au spectateur d’en écrire un quatrième toujours en dessous.
Continuez ainsi de suite jusqu’au neuvième.
Demandez alors au spectateur de faire avec une calculette le total des neuf nombres et de constater que c’est celui qui est dans sa poche !!!
Explications : Si vous voulez prédire 47 988, supprimer le premier chiffre et ajouter le au dernier : 7 988 + 4 = 7 992.
Sous les nombres du spectateur choisi, écrivez à chaque fois le complément à 9999 (exemple : pour 3124, écrivez 6875).
L’explication est simple :
Le total sera bien 7 988 + 4 + 4 × 9 999 = 7 988 + 4 + 39 996 = 7 988 + 40 000 = 47 988.
Pour encore plus de magie, on peut choisir un nombre de départ entre 20 000 et 90 000. Il faudra alors effectuer autant de tour que le chiffre des dix-mille du nombre de départ. Dans l’exemple c’était 4.
m/ La somme de Fibonacci :
 |
 |
| Demander à quelqu’un de choisir 2 chiffres significatifs au hasard (de 1 à 9), de les placer l’un sur l’autre sur une feuille de papier, de les additionner et d’écrire la somme en-dessous. Puis d’additionner le dernier chiffre avec la somme obtenue, de l’écrire en dessous des 2 chiffres et de recommencer jusqu’à avoir 10 nombres.
Demandez-lui de vous montrer sa liste durant 3 secondes. Vous êtes alors capable de calculer la somme de ces 10 nombres plus vite que lui qui a le droit à la machine à calculer. |
Solution :
Si A et B sont les 2 chiffres du départ, alors la somme de ces 10 nombres est : |
n/ 3 dés :
Lance trois dés et écris les résultats au tableau. Je te demande de faire le calcul suivant au tableau pour que tous le voient, sauf moi!
Multiplie la valeur du 1er dé par 2 ; ajoute 5 ; multiplie le résultat par 5 ; ajoute la valeur du 2e dé ; multiplie le résultat par 10 ; et, finalement, ajoute la valeur du 3e dé. Tu me donneras la valeur finale.
Par exemple avec le lancer suivant 3, 2 et 6 : 3×2 = 6 puis 6+5 = 11 puis 11×5 = 55 puis 55+2 = 57 puis 57×10 = 570 puis 570+6 = 576
Explication : soit a, b et c les 3 lancés. Le calcul : [(2a + 5)x5 + b]x10 + c = 100a + 250 + 10d + c
Si on enlève 250 au résultat donné on obtient : 100a + 250 + 10d + c – 250 = 100a + 10d + c = abc où le chiffre a des centaines est la valeur du premier dé, celui des dizaines b est la valeur du deuxième dé, et celui des unités c’est la valeur du troisième dé.
En effet : 576 – 250 = 326 ce qui donne 3 pour le premier dé, 2 pour le second et 6 pour le troisième.
o/ Le calendrier :
| Un élève choisis une page du calendrier devant de la classe et dessine un carré qui contient 16 dates. Son carré contient les dates 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 18, 19, 20, 21, 25, 26, 27 et 28. Le prof jette un coup d’œil rapide au carré et se retourne. |  |
| Maintenant l’élève encercle 4 dates de ton carré de la manière suivante : tu choisis une date du carré, tu l’entoures et tu barres les dates situées dans sa colonne ainsi que celles situées dans sa rangée. Tu choisis ensuite une date qui n’est pas barrée, et tu barres les dates situées dans sa colonne ainsi que celles situées dans sa rangée. Tu continues pour avoir finalement choisi 4 dates que tu additionne. L’élève a choisi 21, 27, 5 et 11 et obtient 21 + 27 + 11 + 5 = 64. |  |
Le prof peut deviner la somme finale en faisant le double de la somme des 2 nombres d’une des diagonales : 2(7 + 25) = 2(4 + 28) = 64
Explication :
| Organisons le calendrier de a jusqu’à (a+24). Le prof : 2(a + a+24) = 2(a+3 + a+21) = 4a + 48 L’élève prend un seul nombre dans chaque colonne et chaque ligne : 0 + 7 + 14 + 21 + a + a+1 + a+2 + a+3 = 4a +48 |
 |