Non classé – Mathadore66

Le canon de Newton :

Newton c’est posé la question suivante : si on tire avec un canon situé sur une très haute montagne, le boulet pourrait-il faire le tour de la terre ? Et si oui, quelle devrait être sa vitesse ?

Vous vous souvenez peut-être de cette scène des Douze travaux d’Astérix où lors d’une épreuve, Obélix lance son javelot tellement fort que ce dernier fait le tour de la Terre…avant de revenir courser son adversaire.

Et bien c’est possible théoriquement.

La trajectoire du boulet sera une parabole, car la vitesse du boulet sera contrecarrée par l’attraction terrestre. Mais si on augmente la vitesse et la hauteur de la position de tir ?

Voici une application qui permet de modéliser cette expérience : https://explorables.scienceetonnante.com/newton-cannon/
Et voici les paramètres à utiliser pour que le boulet fasse le tour de la terre :

Angle de tir = 0°
Vitesse du tir = 7 800 m/s
Altitude du canon = 200 km
Zoom à 0,5 et accélération à 10x

Mais il y a encore plus fort :

Prenons deux planètes de même gravité mais de taille différente. Si un satellite tourne d’elles à une hauteur égale, pour quelle planète son temps de rotation sera t’il le plus court, la grande ou la petite ?

Et bien il sera le même !!!

La force centripète F_c nécessaire pour maintenir un objet en mouvement circulaire est donnée par la formule :

F_{c}=m\frac{v^{2}}{R}

La force de gravité F_g de la planète sur le satellite est donnée par la formule :

F_{g}= \frac{GMm}{R^{2}}

Avec :
v = vitesse du satellite
R = rayon de la planète
M = Masse de la planète
G = constante gravitationnelle
m = masse du satellite

Un objet ayant une vitesse rectiligne mais qui subit l’attraction d’une planète a une orbite circulaire. Il est comme en chute libre permanente et la courbure de sa trajectoire correspond exactement à la courbure de la planète. Pour que ça marche, il faut que la force gravitationnelle fournisse exactement l’accélération centripète nécessaire au mouvement circulaire. Les deux force sont donc égales.

$m\frac{v^{2}}{R}=\frac{GMm}{R^{2}}$ donc : $v^{2}=\frac{GM}{R}$

La masse m du satellite disparait de l’équation et n’a donc aucune influence sur la sa vitesse de rotation. Mais il reste le rayon R.

La vitesse circulaire est donnée par la formule : $v=\frac{2\pi R}{T}$ donc $T=\frac{2\pi R}{v}=2\pi \sqrt{\frac{R^{3}}{GM}}$ (troisième loi de Kepler)

Une planète sphérique de rayon R et de densité moyenne ρ a une masse $M=\frac{4\pi R^{3}\rho}{3}$

Donc : $\Large T=2\pi \sqrt{\frac{R^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4\pi^{2}R^{3}}{G\frac{4\pi R^{3}\rho}{3}}}=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$

Le rayon et la masse pris ont disparu, seule compte la densité moyenne de la planète !

Autrement dit : un gros caillou et une planète rocheuse géante, pourvu qu’ils aient la même densité, auraient exactement la même période orbitale de surface. Un (minuscule) satellite en orbite rasante autour du caillou ferait le tour dans le même temps qu’il le ferait autour de la grande planète. C’est contre-intuitif, mais on voit le phénomène : quand on augmente la taille d’une planète en gardant sa densité constante, deux choses se passent simultanément : la circonférence à parcourir augmente, mais la masse (et donc l’attraction) augmente dans les mêmes proportions. Les deux effets se compensent exactement.

\Large T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}=\sqrt{\frac{3\pi}{6,67\times 10^{-11}\times 5510}}=5064 \ s\approx 84,4 \ min

Planète	Densité moyenne	Périodes orbitales de surface
Terre	5,51 g/cm³	84 min
Mercure	5,43 g/cm³	85 min
Vénus	5,24 g/cm³	87 min
Mars	3,94 g/cm³	100 min
Lune	3,34 g/cm³	109 min

Tous les corps rocheux du Système solaire interne ont des périodes orbitales de surface qui avoisinent 1h30.

papapapap encore

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