Trabucaire

A°/ Nombres particuliers :
B°/ Un peu de calcul mental :
   1°/ Utilisons 4 fois le même chiffre :
   2°/ Utilisons 4 fois le chiffre 4 :
   3°/ Utilisons 1, 2, 3 et 4 :
C°/ 666 un nombre maléfique et le nombre de Belphégor :
D°/ Somme des n premiers nombres entiers impairs = n² :
E°/ Somme des n premiers carrés = n (n+1) (2n+1) / 6 :
F°/ Le cube de la somme de deux nombres : (a+b)³
G°/ Théorème de Nicomaque : Somme des n premiers cubes = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n )²
H°/ Les nombres Phénix :
I°/ Les nombres remarquables :
J°/ La fonction 91 :
K°/ Les équations palindromiques :
L°/ Une jolie démonstration :
M°/ Le nombre d’or :
N°/ La somme d’une suite géométrique infinie est finie :
O°/ Le nombre un : Pourquoi faire simple quand on peu faire compliqué.
P°/ Le nombre e :
Q°/ Les nombre parfaits :
R°/ Les factorielles :
S°/ Les Kitanos :

Comme amuse-gueule, voici une vidéo très originale qui nous présente toutes sorte de nombre et de concept mathématique : pour avoir des explications  Animation vs. Math

A°/ Nombres particuliers :

Vous pensez bien connaître les mathématiques…
Alors, le saviez-vous :

B°/ Un peu de calcul mental :

    1°/ Utilisons 4 fois le même chiffre :

En utilisant 4 fois le même chiffre, des parenthèses et les 4 opérations, comment écrire les nombres proposés (les nombres non proposés sont impossibles).

    2°/ Utilisons 4 fois le chiffre 4 :

Un autre jeu consiste à utiliser 4 fois le chiffre 4 pour obtenir tout les nombres entiers :

Remarque : .4 signifie 0,4 ce qui est un peu de la triche … et \bar{.4}= 0,44444... =\frac{4}{9}

Source : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/Quatre4p.htm

Quatre constantes fondamentales dans quatre 4 : En 2001, une équipe de mathématiciens du Harvey Mudd College a découvert que nous pouvions même obtenir quatre 4 pour approximer quatre constantes notables : le nombre e , π , l’accélération de la gravité g et le nombre d’Avogadro .

    3°/ Utilisons 1, 2, 3 et 4 :

En utilisant chacun des chiffres 1, 2, 3 et 4, une fois et une seule fois, avec les règles de base de l’arithmétique (+, –, , ÷ et parenthèses), exprimez tous les entiers de 1 à 25 (Bien sûr, il existe peut-être d’autres façons d’obtenir chacun de ces chiffres) :

C°/ 666 un nombre maléfique et le nombre de Belphégor :

• Les numérologues considèrent que le nombre 666 est maléfique, aussi le remplacent-ils par de jolies combinaisons.

Ainsi : 666 = 6 + 6 + 6 + 63³+ 63³ + 63³.

• C’est aussi la somme des sept premiers nombres premiers au carré : 666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17².
• C’est un nombre triangulaire : 666 = 1 + 2 + 3 + … + 36
• C’est par ailleurs un nombre palindromique c’est à dire qu’il peut se lire de droite à gauche ou de gauche à droite.
• Mais le 13 est aussi un nombre maléfique, notamment pour la religion chrétienne. Alors les mathématiciens ce sont amusés à créer le nombre de Belphégor qui est constitué du nombre 666 précédé de 13 zéros et suivit de 13 zéros, avec un 1 au début et à la fin : 1 000 000 000 000 066 600 000 000 000 001. Ce nombre est un palindrome et aussi un nombre premier, sa notation est le nombre \pi écrit à l’envers.

• Si l’on translittère la forme grecque Καίσαρ Νέρων du nom de l’empereur Caesar-Neron en hébreu קסר נרון suivant la guématria, la valeur numérique de l’addition de l’ensemble des lettres donne 666 dans un nombre qui, par opposition au chiffre 7 qui symbolise la perfection, symbolise l’imperfection suprême; si on translittère la forme latine « Caesar-Nero » en l’hébreu קסר נרו cela donne 616.
• Les ennemis du pape ce sont aussi prêtés à ce petit jeux des nombres. Le pape est le vicaire de dieu ce qui donne en latin :
  VICarIVs fILII DeI en ne prenant que les lettre traduisibles en nombre = 5 + 1 + 100 + 1 + 5 + 1 + 50 + 1 + 1 + 500 + 1 = 666
• Hitler aussi peut donner 666 si on considère que le A = 100; B = 101; C = 103.
  En effet : H = 107 + I = 108 + T = 119 + L = 111 + E = 104 + R = 117 = 666
• Dans la bible : bien entendu le nombre de la bête est présent dans la bible car la bête représente le diable. Dans les Évangiles selon  St Jean : les disciples pêchent et sortent 153 poissons.
  Plaçons les chiffres 1, 5 et 3 dans un triangle équilatéral noir dans le sens des aiguilles d’une montre, et dans un autre triangle équilatéral bleu dans le sens inverse. On obtient l’étoile de David. Si on additionne les nombres composés par 3 chiffres dans un sens et dans l’autre, on trouve 666 à chaque fois !!!

Petite remarque assez troublante : si on prend les 3 chiffres du haut de l’étoile, c’est à dire 355, et que l’on divise par ceux du bas, c’est à dire 113, et bien on obtient une approximation du nombre \pi à 6 décimales près … \frac{355}{113} = 3,14159292 \approx \pi

Toujours dans l’Apocalypse de Jean, chapitre 13, versets 11 à 18, on présente la bête, monstre de la fin du monde, et son nombre.

Puis je vis monter de la terre une autre bête, qui avait deux cornes semblables à celles d’un agneau, et qui parlait comme un dragon. […] Que celui qui a de l’intelligence calcule le nombre de la bête. Car c’est un nombre d’homme, et son nombre est six cent soixante-six.

D°/ Somme des n premiers nombres entiers impairs = n² :

De façon générale la somme des n premiers nombres impairs est n².
En effet la suite arithmétique des n premier nombre impair donne :

Avec : Premier terme : u₁ = 1

Dernier terme : u_n = 2n – 1

Nombre de termes : n

Exemple. La somme des 4 premiers nombres impairs est le carré de 4, soit 16 : 1 + 3 + 5 + 7 = 4² = 16

E°/ Somme des n premiers carrés = n (n+1) (2n+1) / 6 :

Commençons par les 4 premiers carrés : 1² + 2² + 3² + 4² = ( 4 x 5 x 9 ) / 6 = 30

Pour cela constituons un pyramidal en empilant quatre étages de forme carrés.
Nous avons un carré de 1 case, puis un carré de 2² = 4 cases, puis de 3² = 9 cases et enfin de 4² = 16 cases.

Maintenant, comme dans un puzzle 3D, agençons six pyramidaux pour reconstituer un parallélépipède rectangle de dimensions 4, 5 et (2 x 4 + 1 =) 9. Nous obtenons alors : 1² + 2² + 3² + 4² = ( 4 x 5 x 9 ) / 6 = 30 cubes.

De même agençons six pyramidaux constitués de carrés de 1 à 5² cases. Nous obtenons un parallélépipède de dimensions 5, 6 et (2 x 5 + 1 =) 11.

Somme des carrés des 5 premiers entiers Somme des carrés des 6 premiers entiers

1² + 2² + 3² + 4² + 5² = ( 5 x 6 x 11 ) / 6 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6²= ( 6 x 7 x 13 ) / 6

Le procédé se généralise avec un pyramidal obtenu en empilant des carrés de 1 à n² cases.
Six pyramidaux réunis permettent de construire un parallélépipède de dimensions n, n+1 et 2n+1.

Nous obtenons le résultat général :

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² +… + n² = n (n+1) (2n+1) / 6

F°/ Le cube de la somme de deux nombres : (a+b)³

G°/ Théorème de Nicomaque : la somme des n premiers cubes = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n )²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ +… + n³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n )²

En effet, si l’on décompose correctement le cube de chaque entier, nous pouvons retrouver facilement la somme des cubes de différents entiers.

Découvrons d’emblée les résultats sur l’animation ci-dessous : le volume de chaque cube est égal à l’aire d’une zone colorée dans le même ton.

Voyons maintenant pourquoi l’aire de chaque zone colorée correspond bien au volume d’un cube. Nous connaissons la somme des entiers naturels de 1 à n avec la formule :

Nous en déduisons que pour chaque valeur de l’entier n :

Au final, on obtient un carré de côté (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n ) et donc de surface (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + n )².

H°/ Les nombres Phénix :

Le bestiaire des nombres recèlent de bien curieux phénomènes…

Très curieux sont en effet les nombres phénix, qui comme leur nom l’indique peuvent renaître de leurs cendres!! Comment ?

En voici un exemple : le nombre 052 631 578 947 368 421 (à vos souhaits) est un de ces nombres si étranges.

Vous pouvez essayer de le multiplier par tout nombre entier compris entre 2 et 18, vous ne retrouverez bien sûr pas notre nombre de départ, mais les chiffres du résultat se suivent exactement dans le même ordre, à un décalage près !!!

exemple : si on le multiplie par deux, on obtient 1 052 631 578 947 368 42. le dernier 1 du nombre de départ s’est retrouvé en tête du nombre d’arrivée !! Pour le moins étonnant !!

Mais celui-ci vous réserve une autre surprise: multipliez-le donc par 19 pour comprendre à quel point ce nombre est « magique »…… :

52 631 578 947 368 421 x 19 = 999 999 999 999 999 999

Et le plus étonnant est qu’il existe d’autres nombres ayant les mêmes propriétés comme 0 588 235 294 117 647 ou 142 857 !!

La règle générale :
     0,052 631 578 947 368 421 = 1/19 donc 052 631 578 947 368 421 x 19 = 999 999 999 999 999 999
     0,0 588 235 294 117 647 = 1/17    donc 0 588 235 294 117 647 x 17 = 9 999 999 999 999 999
     0,142 857 = 1/7                       donc 142 857 × 7 = 999 999   

I°/ Les nombres remarquables :

https://oeis.org/ ou https://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/histoire-des-nombres/158-les-nombres-remarquables

Les Mathématiciens adorent jouer avec les nombres et adorent encore plus les classer. Voici quelques nombres au titre poétique ou amusant comme nombres amicaux, parfaits ou de poulet.

Sur ce site vous pourrez tout connaitre d’un nombre : http://www.numbergossip.com/

Nom des nombres	Définition	Exemple	La liste de ces nombres
Les nombres abondants	Nombre entier naturel non nul qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs stricts sauf lui-même.	12 : La somme de ces diviseurs 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12	https://oeis.org/A005101
Les nombres autobiographiques	Nombre entier positif dont le 1er chiffre indique le nombre de 0 contenus dans ce nombre, le 2e le nombre de 1, le 3e le nombre de 2 et ainsi de suite jusqu’au 10e qui doit indiquer le nombre de 9 dans ce nombre.	1210 est le plus petit d’entre eux (1 chiffre 0, 2 chiffres 1, 1 chiffre 2 et 0 chiffre 3).	https://oeis.org/A046043
Les nombres déficients	Nombre entier naturel non nul qui est strictement supérieur à la somme de ses diviseurs stricts sauf lui-même.	10 : La somme de ces diviseurs 1 + 2 + 5 = 8 < 10	https://oeis.org/A005100
Les nombres parfaits	Nombres qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs entiers naturels sauf eux-mêmes. On en connaît 48, dont huit inférieurs à 1021.	28 : La somme de ces diviseurs 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28	https://oeis.org/A000396
Les nombres amicaux ou amiables	Couple d’entiers naturels dont la somme de diviseurs stricts, autre que lui-même, de l’un est égale à la somme de diviseurs stricts de l’autre.	La paire (220,284) est amiable et c’est la première. Les Grecs ne connaissaient que celle-ci.   La somme des diviseurs propres de 220 : 2+4+5+11+22+55+44+20+110+10+1 = 284. La somme des diviseurs propres de 284 : 2+4+71+142+1 = 220	https://oeis.org/A063990
Les nombres sociables	Suite de nombres qui sont la somme des diviseurs propres du nombre précédent (en revenant sur le premier).	Par exemples : 1264460, 1547860, 1727636, 1305184 (1547860 est la somme de tous les diviseurs propres de 1264460 …) Une suite de 28 nombres sociables : 14316 → 19116 → 31704 → 47616 → 83328 → 177792 → 295488 → 629072 → 589786 → 294896 → 358336 → 418904 → 366556 → 274924 → 275444 → 243760 → 376736 → 381 028 → 285 778 → 152990 → 122410 → 97946 → 48976 → 45946 → 22976 → 22744 → 19916 → 17716 (→ 14316 )	https://oeis.org/A003416 Un outil pour les calculer.
Les nombres chanceux	Nombres entiers naturels obtenus de la façon suivante : On commence avec la suite d’entiers démarrant par 1 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Puis on enlève un nombre sur deux, ce qui ne laisse que les entiers impairs : 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Le deuxième terme de la suite est désormais 3. Ensuite, on enlève un nombre sur trois parmi ceux qui restent dans la liste : 1 3 7 9 13 15 19 21 25 Le troisième nombre survivant est 7. On enlève alors un nombre sur sept parmi ceux qui restent dans la liste : 1 3 7 9 13 15 21 25 Le quatrième nombre survivant est 9. Puis on enlève un nombre sur neuf parmi ceux qui restent dans la liste, etc. Si l’on répète cette procédure indéfiniment, les survivants sont les nombres chanceux : 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, …	1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, …	https://oeis.org/A000959
Les nombres heureux (happy nomber)	Entier naturel tel que si on calcule la somme des carrés de ses chiffres puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1.	19 est un nombre heureux car : 1² + 9² = 82 8² + 2² = 68 6² + 8² = 100 1² + 0² + 0² = 1	https://oeis.org/A007770
Les nombres malheureux (unhappy nomber)	Entier naturel tel que si on calcule la somme des carrés de ses chiffres puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, il boucle sur le cycle long	14 est un nombre malheureux car : 1² + 4² = 17 1² + 7² = 50 5² + 0² = 25 2² + 5² = 29 2² + 9² = 85 8² + 5² = 89 8² + 9² = 145 …	https://oeis.org/A031177
Les nombres de Harshad	Du sanskrit « harṣa » (« joie ») et « da » (« qui donne »). Nombres divisiblent par la somme de ses chiffres.	2022 est divisible par la somme 2+2+0+2 = 6. 2022/6 = 337	https://oeis.org/A005349
Les nombres taxicab	Nombre qui peut être exprimé comme la somme de deux cubes, de plusieurs façons différentes (en l’occurrence, 2). Godfrey Harold Hardy, mathématicien britannique de la première moitié du XXe siècle, rapporte l’anecdote suivante, concernant le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan :« Je me souviens que j’allais le voir une fois, alors qu’il était malade, à Putney. J’avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j’espérais que ce ne fût pas mauvais signe. — Non, me répondit-il, c’est un nombre très intéressant : c’est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes. »	1729 = 13 + 123 = 93 + 103	https://oeis.org/A011541
Les nombres poulet	En arithmétique, un test de primalité courant pour un nombre impair n consiste à tester si n divise 2n – 2 : dans le cas contraire, en vertu de la contraposée du petit théorème de Fermat, on conclut que n n’est pas premier. Cependant il existe des nombres composés qui passent ce test avec succès : on les appelle nombres de Poulet, en l’honneur de Paul Poulet qui en a listé en 1926, ou nombres de Sarrus, car F. Sarrus découvrit certains de ces nombres (comme 341) en 18191. Un nombre composé n est donc un nombre de Poulet si n divise 2n – 2, autrement dit si c’est un nombre faiblement pseudo-premier en base 2. Un supernombre de Poulet est un nombre composé dont tous les diviseurs composés sont des nombres de Poulet (ces diviseurs sont alors aussi des supernombres de Poulet), ou encore : un nombre composé dont chaque diviseur d divise 2d – 2.	2341 – 2 est divisible par 341	https://oeis.org/A001567
Les nombres triangulaires	Nombres entiers naturels de la forme n(n+1)/2 , n étant un entier naturel.	t3 = 3+2+1 = 6 est le 3ième nombre triangulaire car 6 = 3(3+1)/2	https://oeis.org/A000217
Les nombres univers	Nombre réel dans les décimales duquel on peut trouver n’importe quelle succession de chiffres de longueur finie. Vous pouvez ainsi vérifier sur cette page, si votre date de naissance ou votre numéro de téléphone est présent dans les décimales de . En fait on peut tout trouver dans les décimales de , à partir du moment ou on le transforme en suite de nombre. Par exemple une photo est une succession de pixel codés par un nombre représentant sa couleur, vous pouvez donc trouver n’importe quelle photo. Si on remplace les lettres par leur rang dans l’alphabet, on peut trouver n’importe quel texte dans les décimales de pi (Maths sera codé par M = 13, a = 1, t = 20, h = 8, s = 13 et 13120813 ce retrouve au rang 29247731) !!!!	Même si ce n’est pas encore démontré, le nombre est considéré comme un nombre univers.	http://www.angio.net/pi/piquery
Nombres Escaliers, Polis ou Trapézoïdaux	C’est un nombre qui peut s’écrire sous la forme de une ou plusieurs sommes de deux ou plusieurs nombres consécutifs. Le degré de politesse indique combine de fois un nombre est sommes de nombres consécutifs.	$$\mathrm{Le\; nombre\; 15\; est\; un\; nombre\; 3-polis,\; c’est\; à\; dire\; qu’il\; peut\; se\; décomposer\; en\; somme\; d’entiers\; consécutifs\; 3\; fois.\; 15}=1+2+3+4+5=4+5+6=7+8$$	https://oeis.org/A138591
Nombres cyclopes	Un nombre cyclope possède un nombre impair de chiffres et son chiffre du milieu est 0.	$$\mathrm{Par\; exemple,\; 607\; est\; un\; nombre\; cyclope\; premier.}$$	https://oeis.org/A134808
Nombres puissants	Un entier naturel n est dit puissant si, pour tout diviseur premier p de n, le carré p2 divise également n. Cela signifie que dans la décomposition en facteurs premiers de n, tous les exposants sont supérieurs ou égaux à 2.	$$\mathrm{Les\; 26\; premiers\; :\; 1,\; 4,\; 8,\; 9,\; 16,\; 25,\; 27,\; 32,\; 36,\; 49,\; 64,\; 72,\; 81,\; 100,\; 108,\; 121,\; 125,\; 128,\; 144,\; 169,\; 196,\; 200,\; 216,\; 225,\; 243,\; 256}$$ $$\mathrm{.6125\; =\; 53\; \times \; 72\; est\; puissant}$$ 6615 = 33 × 5 × 7² n’est pas puissant car pas divisible par 5²	https://oeis.org/A001694
Nombres de Dudeney	Un nombre de Dudeney est un entier positif dont la somme de ses chiffres décimaux est égale à la racine cubique du nombre. Il en existe seulement 7.	\sqrt[3]{0}=0\\\sqrt[3]{1}=1\\\sqrt[3]{512}=5+1+2=8\\\sqrt[3]{4913}=4+9+1+3=17\\\sqrt[3]{5832}=5+8+3+2=18\\\sqrt[3]{17 576}=1+7+5+7+6=26\\\sqrt[3]{19 683}=1+9+6+8+3=27	https://oeis.org/A046459
Nombres premiers jumeaux	Nombres premiers qui sont séparés par 2 unités. Les trois plus petits couples de nombres premiers jumeaux sont (3, 5), (5, 7) et (11, 13).	Le plus grand connu est 2 996 863 034 895 × 221 290 000 ± 1. Les deux nombres possèdent 388 342 chiffres (septembre 2016). On soupçonne qu’il existe une infinité de ces couples, mais personne n’a pu le prouver à ce jour.	https://oeis.org/A001359
Nombres premiers cousins	Nombres premiers qui sont séparés par 4 unités.	(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23) ….	https://oeis.org/A046132
Nombres premiers sexys	Nombres premiers qui sont séparés par 6 unités.	(5,11), (7,13), (11,17), (13,19) ….	https://oeis.org/A023201
Les Nombres Premiers Rugeux (« rough numbers« )	Un entier est dit k-rugueux s’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à k.	14 n’est pas 5-rugueux, car il est divisible par 2, un nombre premier inférieur à 5. 49 est 5-rugueux, car il n’est divisible ni par 2 ni par 3 (les nombres premiers inférieurs à 5).	https://oeis.org/A007310
Nombres de Lychrel	Si on ajoute un nombre entier et sont renversé (le même nombre écrit à l’envers), on obtient un nombre palindrome. Les nombres de Lychrel ne respectent pas cette propriété, mais on ne sait pas démontrer qu’ils existent.	143 + 341 = 484 nombre palindrome 196 est le plus petit candidats à la liste des nombres de Lychrel.	https://oeis.org/A023108
Les nombres auto-biographiques ou auto-descriptifs	C’est un entier naturel dont le premier chiffre indique le nombre de 0 qu’il contient, le deuxième chiffre le nombre de 1, etc., en respectant l’ordre numérique.	1210 : 1 2 1 0 1 chiffre zéro 2 chiffres 1 1 chiffre 2 0 chiffre 3	https://oeis.org/A046043

J°/ La fonction 91 :

En 1970 le mathématicien John McCarthy, a proposée une fonction de calcul très simple mais avec un résultat assez surprenant.

Prenez un nombre entier inférieur ou égal à 101. Si ce nombre est plus grand à 100, enlever-lui 10, sinon ajouter 11. Puis recommencer jusqu’à indéfiniment. Vous tomberez obligatoirement sur le nombre 91 ….

En langage Mathématique cela donne :

Exemples : un programme SCRATCH pour tester.

f(99) = f(f(110)) car 99 ≤ 100
      = f(100)    car 110 > 100
      = f(f(111)) car 100 ≤ 100
      = f(101)    car 111 > 100
      = 91        car 101 > 100

f(87) = f(f(98))
      = f(f(f(109)))
      = f(f(99))
      = f(f(f(110)))
      = f(f(100))
      = f(f(f(111)))
      = f(f(101))
      = f(91)
      = f(f(102))
      = f(92)
      = f(f(103))
      = f(93)
      ...
      = f(99)
      ...
      = 91

K°/ Les équations palindromiques :

– Un palindrome peut se lire de droite à gauche et inversement. Le nombre 12521 est un nombre palindrome.

Mais trouver des équations qui le soient est plus compliqué :

61 – (8 + 8 + 8 + 8 + 8) = (8 + 8 + 8 + 8 + 8) – 19 : on obtient 21.

98 x 99 – (609 + 6969 + 111) = (111 + 6969 + 609) – 66 x 86 : on obtient 2013.

– Une autre bizarrerie : prenez n’importe quel nombre, inversez ses chiffres et ajoutez-le au nombre d’origine. Répétez ce processus et vous finirez par obtenir un palindrome.

196 est le plus petit nombre pour lequel un palindrome n’a pas été trouvé par ce processus itératif.

196 + 691 = 887 puis 887 + 788 = 1975 puis 1675 + 5761 = 7436 ….

L°/ Une jolie démonstration :

Tout nombre au carré peut s’écrire sous la forme de l’addition de deux nombres triangulaires.

	Pour rappel un nombre triangulaire de rang n noté tn, est la somme de tous les nombres de 1 jusqu’à n. On peut les représenter sous la forme d’un triangle de base n, d’où leur nom. Exemple : t5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15              t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
	La démonstration est plutôt ardus, bien que tout à fait correcte.
	Mais en modélisant le problème par un schémas, la solution est tout de suite plus évidente et même très simple. Commençons par représenter un carré comme 25 = 5², puis découpons le par une diagonale comme sur la figure ci-contre. Le triangle supérieur est un nombre triangulaire d’ordre 5 et le triangle inférieur d’ordre n-1. Ainsi : n² = tn + tn-1

M°/ Le nombre d’or :

Un nombre mystérieux et magique dont on parle depuis la plus haute antiquité dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture, la nature, …
Il caractérise l’harmonie et l’esthétique dans les arts, bien que certains lui reproche son caractère ésotérique.

On le désigne par la lettre grecque \varphi   ( phi ) en hommage au sculpteur grec Phidias (490 – 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes.

   1°/ Son nom :
   2°/ Sa définition :
   3°/ Le rectangle d’or :
   4°/ La spirale d’or :
   5°/ Le triangle d’or :
   6°/ Le pentagone d’or :
   7°/ De bien belles formules :
   8°/ Suite de Fibonacci :
   9°/ Les suites :
   10°/ Le nombre d’or est partout :
   11°/ Rapports métalliques :

   1°/ Son nom : il a évolué avec le temps.

• Le mathématicien et moine franciscain Luca Pacioli (1445 ; 1517) parle de « Divine proportion »
• Le physicien Johannes Kepler (1571 ; 1630) le désigne comme le « joyau de la géométrie »
• Léonard de Vinci l’appelle la « section dorée »
• Le prince Matila Ghyka en 1932, diplomate et ingénieur, est le premier à parler de « nombre d’or ».

   2°/ Sa définition : le nombre d’or est la solution positive de l’équation : x² – x – 1 = 0 et sa valeur est :   \varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618033... .
Concrètement cela veut dire que si on le multiplie par lui-même on le retrouve additionné de 1 : \varphi ^{2}= \varphi+1

	Peut-on trouver 2 segments alignés a et b tel que le rapport du plus grand sur le plus petit soit égal au rapport de la somme sur le plus grand ?  \varphi=\frac{b}{a}=\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=1+\frac{1}{\varphi}\Rightarrow\varphi=1+\frac{1}{\varphi}
	Géométriquement, si on prend un segment de longueur a, qu’on le multiplie par \varphi puis encore par \varphi , le grand segment est la somme des 2 petits. C’est cette propriété qui rend les longueurs harmonieuses.
	Autrement dit, 2 segments seront dans la proportion du nombre d’or si le rapport du grand sur le moyen est égal au rapport du moyen sur le petit. \frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow \frac{1+\varphi }{\varphi}=\frac{\varphi }{1}\Rightarrow 1+\varphi =\varphi ^{2}\Rightarrow \varphi ^{2}-\varphi -1 = 0 \\ \Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\times 1\times (-1) = 5 \\ \varphi_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0 \ impossible \ c'est \ une \ longueur \\ \varphi_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0 \ c'est \ la \ valaur \ de \ \varphi
	Une autre façon de faire : \varphi =\frac{BC}{AB}=\frac{AB+BC}{BC}=\frac{AB}{BC}+\frac{BC}{BC}=\frac{1}{\varphi }+1 \\ \varphi =\frac{1}{\varphi }+1 \\ Donc : \Phi = \frac{1}{\varphi } = \varphi -1 \simeq 1,618033989... - 1 = 0,618033989... L’inverse de   \varphi est noté   \phi et il représente la partie décimale de   \varphi .

   3°/ Le rectangle d’or : de largeur une unité et de longueur \varphi . Ces proportions sont esthétiquement parfaites et on le retrouve dans de nombreux bâtiments.

Construction d’un rectangle d’or : Tracer un triangle ABC rectangle en A dont les côtés de l’angle droit mesurent 1 et 1/2 Puis on reporte la longueur de l’hypoténuse sur la demi droite [AC) tel que BC = CD Grâce au théorème de Pythagore : BC = \frac{\sqrt{5}}{2} AD = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

De façon générale, un rectangle est d’or si le rapport de sa longueur sur sa largeur est égal à \varphi .

   4°/ La spirale d’or :

   5°/ Le triangle d’or : on appelle triangle d’or un triangle isocèle dont les côtés sont dans le rapport du nombre d’or. De ce fait, les deux triangles d’or possible ont des angles à la base de 36° ou 72°. Celui d’angle de base à 36° est plutôt applé triangle d’argent.

Dans le triangle ACH rectangle en H Si : \frac{AB}{AC}=\varphi \ alors \ cos\widehat{A} = \frac{AH}{AC}=\frac{AB}{2AC}=\frac{\varphi }{2} \\ \widehat{A} = Acrcos\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right ) = 36^{\circ}\\ Si : \frac{AC}{AB}=\varphi \ alors \ cos\widehat{A}=\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{2AC}=\frac{1}{2\varphi} \\ \widehat{A} = Acrcos\left ( \frac{1}{1+\sqrt{5}} \right )= 72^{\circ}

   6°/ Le pentagone d’or :

Il faut prendre 2 triangles d’or AEC et BCD d’angles de bases 36° et un triangles d’or ABD d’angles de bases 72°. On obtient un pentagone d’or : Si : \frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{AE}=\varphi En fait, tous les pentagones respectent cette propriété est ce sont donc tous des pentagones d’or.

   7°/ De bien belles formules :

	\pi et le nombre d’or.
\varphi = \sqrt{1+ \sqrt{1+\sqrt{1 + \sqrt{1+...}}}}	Le nombre d’or et les racines continues : \varphi ^{2}= 1+ \varphi \\donc \ \varphi = \sqrt{1 + \varphi} = \sqrt{1+\sqrt{1 + \varphi}} = \sqrt{1+ \sqrt{1+\sqrt{1 + \varphi}}}
	Le nombre d’or et les fractions continues : \varphi ^{2}= \varphi +1 \\ donc \ \varphi = 1 + \frac{1}{\varphi } = 1+ \frac{1}{1+\frac{1}{\varphi }}
cos \frac{\pi \ rad}{5}= cos \ 36^{\circ} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\varphi }{2}	La trigonométrie d’or.

   8°/ Suite de Fibonacci :

En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite d’entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent, en partant de 0 et de 1 :

Cette suite célèbre est constituée en partant de 0 puis 1. On obtient les nombres suivants en additionnant les deux nombres précédents.

0 ; 1 ; 1 = 0 + 1 ; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 ; 5 = 3 + 2 ….

En partant d’un carré de côté 1, on juxtapose un autre carré de côté 2, ce qui crée un rectangle de longueur 1+2 = 3 et de largeur 1+1 = 2. Puis on juxtapose un autre carré de côté 3, ce qui crée un rectangle de longueur 2+5 = 5 et de largeur 1+2 = 3. Et ainsi de suite. Chaque carré présente des côtés qui suivent la suite de Fibonacci. Le lien avec le nombre d’or passe d’abord par la ressemblance avec le rectangle d’or, puis par le fait que le rapport de 2 nombres consécutifs de la suite se rapproche de plus en plus de \varphi .  Fractions \frac{13}{8} = 1,625... \frac{21}{13} = 1,615... \frac{34}{21} = 1,619... \frac{55}{34} = 1,617... Erreur par rapport à \varphi 0,4% -0,2% 0,06% -0,02%

Mais on peut aussi retrouver cette suite en assemblant des triangles d’or et d’argent : En partant d’un triangle d’or, on lui adjoint un triangle d’argent. On obtient un nouveau triangle d’argent. Puis un ajoute un triangle d’or et on obtient un nouveau triangle d’or. Et ainsi de suite. Si compte le nombre de triangle, qui sont la somme des précédents, on trouve la suite de Fibonacci. Et bien sur, si on divise le nombre de triangle d’or par le nombre de triangle d’argent de chaque triangle on se rapproche de de plus en plus de \varphi .  Étape 5 6 7 … 11 12 Triangles totaux 5 8 13   89 144 Triangles d’or 3 5 8   55 89 Triangles d’argent 2 3 5   34 55 Rapport \frac{3}{2} = 1,5 \frac{5}{3} \approx 1,66... \frac{8}{5} = 1,6   \frac{55}{34} \approx 1,617... \frac{89}{55} \approx 1,618...

Mais comment trouver le nième terme de la suite de Fibonacci sans avoir à calculer les précédents ?

   9°/ Les suites :

Le nombre d’or est certainement le seul nombre pour lequel on peut faire coïncider une progression géométrique (on passe d’un nombre à son suivant en multipliant par un même nombre, ici \varphi ) et une somme, en l’occurrence la somme des 2 termes précédents. Rappel : \varphi ^{2} = 1+\varphi

Suite Géométrique	\varphi ^{0} = \color{red}1	\varphi ^{1} = \color{red}\varphi	\varphi ^{2} = \color{red}1+\varphi	\varphi ^{3}=\varphi \times \varphi^{2} =\varphi \times (1+\varphi )=\varphi +\varphi^{2} = \varphi +1+\varphi = \color{red}1 + 2\varphi	\varphi ^{4}=\varphi \times \varphi^{3} =\varphi \times (1+2\varphi )=\varphi +2\varphi^{2} = \varphi +2+2\varphi =\color{red} 2 + 3\varphi	\varphi ^{5}=\varphi \times \varphi^{4} =\varphi \times (2+3\varphi )=2\varphi +3\varphi^{2} = 2\varphi +3+3\varphi =\color{red} 3 + 5\varphi	\varphi ^{n}=\color{red}\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}
Somme des 2 termes précédents		1 =\varphi ^{0}	\varphi ^{0}+\varphi ^{1}=1+ \varphi	\varphi ^{1}+\varphi ^{2}=\varphi+1+\varphi = 1+2\varphi	\varphi ^{2}+\varphi ^{3}=1+\varphi+1 + 2\varphi = 2 + 3\varphi	\varphi ^{3}+\varphi ^{4}=1 + 2\varphi + 2 + 3\varphi =3 + 5\varphi	\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}
Suite d’inverses
L’échelle d’or

   10°/ Le nombre d’or est partout :

On peut retrouver le nombre d’or un peu partout, soit du fait d’une intention humaine, soit pour des raisons logiques :

Le Corbusier (1887-1965) : Architecte qui à développé toute une théorie autour de l’harmonie du nombre d’or. Il invente en 1945 le Modulor qui sera son modèle étalon pour la construction des habitations et qui remplace le mètre. Plus adapté que le système métrique, car il est directement lié à la morphologie humaine. « Modulor » est composé sur « module » et « nombre d’or » car les proportions fixées par le modulor sont directement liées au nombre d’or. Par exemple, le rapport entre la taille (1,83 m) et la hauteur moyenne du nombril (1,13 m) est égal à 1,619, soit le nombre d’or à un millième près. La taille humaine standard d’1,83 mètre est fondée sur l’observation de l’architecture traditionnelle européenne et de l’utilisation des proportions de cette unité pour élaborer l’harmonie d’une architecture.
La phyllotaxie : Pour ne pas ce faire de l’ombre les feuilles d’une branche se décalle d’un angle de 137,5°. En effet : 137,5° + 137,5° \varphi = 360°. 80% des plantes respectent cet agencement.
Les pétales de fleurs :  Rares sont les fleurs qui ne comptent pas 5, 8 ou 21 pétales. Il s’agit des nombres de la suite de Fibonacci intimement liée au nombre d’or.
Des constructions humaines : Les rapports longueur sur largeur de la carte de crédit (taille standard CR80 : 85,6 cm sur 54 cm), longueur d’un violon sur son corps ou encore hauteur d’un vélo sur hauteur de sa roue.
Pyramide du Louvre : Construite sur l’esplanade du Louvre à Paris, par l’architecte Ieoh Ming Pei, elle respecte la proportion du nombre d’or si on mesure sa largeur, sa hauteur et ses arêtes. Si pour la pyramide de Kéops on peut avoir des doutes quand à savoir si les constructeurs on sciemment utilisés le nombre d’or, ce n’est pas le cas ici.
Les logos : Les entreprises ont bien comprit le côté subjectif du nombre d’or et elles le font apparaître partout dans leurs logos.
L’art : Les peintres recherche l’harmonie et les belles proportions. C’est donc tout naturellement que l’on retrouve la divine proportion dans leurs œuvres.

Il y a des cas contestables, car ce n’est pas parce que le rapport de 2 nombres donne 1,618 que le nombre d’or y est pour quelque chose. Par exemple je mesure 1,89 m pour 55 kg (oui je ne suis pas bien épais …), et bien \frac{89}{55} =1,61818.... \approx \varphi .

Les proportions humaines : la taille d’un homme divisée par la distance du sol au nombril est égal au nombre d’or. La largeur de la bouche divisée par la largeur du nez aussi.
La coudée royale : mesure de référence des architectes égyptiens qui est la longueur du bout du majeur du Pharaon jusqu’à son coude c’est à dire 52,36 cm. Hasard ou coïncidence, si on prend un cercle de 1 unité de diamètre alors son périmètre fera \pi  . La coudée royale sera le sixième de ce périmètre : \frac{\pi }{6} \approx 0,523598... \ unités Il reste \frac{5\pi }{6} \approx 2,61799...\approx \varphi ^{2} \ unités
Le Parthénon : Temple, dédié à la déesse Athéna en 447 av JC, situé sur l’Acropole d’Athènes en Grèce. On peut repérer une multitude de rectangle d’or. Est-ce voulu, ou est-ce simplement parce que la dimension de ce rectangle est très agréable à l’œil ?
La pyramide de Kéops : en triturant toutes les mesures de la pyramide, on peut retrouver le nombre d’or dans de nombreux rapport. De là à affirmer que c’était voulu par les bâtisseurs …
Astronomie : si l’on divise le nombre de jours (terrestres) que la Terre met pour faire sa révolution (sidérale) autour du soleil, par le nombre de jours (terrestres) que Vénus met pour faire sa révolution (sidérale), on obtient comme résultat : le nombre d’or φ (à 99.53%). C’est bien sur une coïncidence et il ne faut pas chercher une intervention divine. La voie lactée a une forme en spirale, peut être celle de Fibonacci.
L’ADN : C’est le Dr ingénieur en mathématique et informatique Jean-Claude Perez qui a découvert la présences du ratio doré sous forme de la suite de fibonacci dans la répartition des bases de notre ADN ! Le rapport de la longueur d’une hélice sur sa largeur est égale au nombre d’or. Vue de dessus, il y a 10 barreaux par pas de l’hélice d’ADN : si qui donne un triangle d’or d’angle 36°.
La nature : en cherchant bien on peut trouver la divine proportion un peu partout dans la nature. Cela semble normal, puisque nous sommes sensible à cette proportion c’est quelle est soit très présente, soit quelle est utile voire parfaite.
La bible : la recherche est un peu tirée par les cheveux. Dans l’Apocalypse selon Saint Jean. Chapitre 13 verset 18 : C’est ici la sagesse ! Que celui qui a de l’intelligence compte le nombre de la bête ; car c’est un nombre l’homme et ce nombre est six cent soixante-six. Chapitre 21 verset 17 : Il en mesura aussi la muraille, de cent quarante-quatre coudées, mesure d’homme, qui est aussi mesure d’ange. Sin(666°) = cos(144°) = \frac{-\varphi }{2}    666 étant le nombre de la bête Rem : 666 = 234 + 432 = 13 x 18 + 3 x 144    234 et 432 sont des nombres miroir, Chapitre 13 verset 18 et 144 la longueur de la muraille.
Le drapeau de l’indépendance du Chili vis-à-vis de l’Espagne signée en 1818. Il est conservé au Musée d’Histoire Nationale de Santiago.. Le drapeau a toujours été conservé dans des musées, sauf pendant une vingtaine d’années. En effet, au début des années 80, il a été « kidnappé » par un commando en signe de protestation contre la dictature d’Augusto Pinochet. C’est ainsi qu’en 1912 on a choisi de simplifier le modèle. À titre de comparaison, vous pouvez voir en bas le design du drapeau de 1818 (à gauche) et celui du drapeau actuel (à droite). Dans ce dernier, la région bleue n’est qu’un carré sur lequel est centrée une étoile dont le diamètre du cercle circonscrit est la moitié du côté du carré. On aboutit de cette façon à un modèle de rapport longueur / largeur égal à 3:2 (comme celui du drapeau français).
On peut réaliser de très beaux dessins avec le nombre d’or. Le nombre d’or est mis en œuvre en cercles, servant de rapport mathématique pour générer des designs esthétiquement agréables. Compte tenu de sa prévalence dans la nature, l’apparence naturelle des résultats n’est pas surprenante. Le Diamant d’Or présente une dissection monomorphe asymptotique du triangle équilatéral. Chaque carreau suit des proportions alignées sur le nombre d’or par rapport au triangle extérieur. Spirale dorée créée à l’aide de triangles équilatéraux. La spirale de Padovan suit une séquence récursive semblable à la séquence de Fibonacci.
La philosophie du Yin Yang est représentée par le « symbole taichi » ( taijitu ). En fait, le Yin Yang est un concept de dualisme , décrivant comment des forces apparemment opposées ou contraires peuvent en réalité être complémentaires, Curieusement, dans le symbole du taichi sont cachés le nombre d’or et son inverse.

11°/ Rapports métalliques :

Le nombre d’or fait partie d’une vaste famille appelée « rapports métalliques » ou « Ratio métalliques ». Ces rapports décrivent une relation récursive entre les côtés d’un rectangle.

Étant donné un rectangle de côtés de longueurs A et B ( avec B > A ), les rapports métalliques satisfont l’équation :

Nombre n Équation Valeur Fraction continue Platine 0 \frac{0+\sqrt{4}}{2} 1   Or 1 \frac{1+\sqrt{5}}{2} 1,618033989 [1;1,1,1…] Argent 2 \frac{2+\sqrt{8}}{2} 2,414213562 [2;2,2,2…] Bronze 3 \frac{3+\sqrt{13}}{2} 3,302775638 [3;3,3,3,…] Cuivre 4 \frac{4+\sqrt{20}}{2} 4,236067978 [4;4,4,4,…] Nickel 5 \frac{5+\sqrt{29}}{2} 5,192582404 [5;5,5,5…] Aluminium 6 \frac{6+\sqrt{40}}{2} 6,162277660 [6;6,6,6…] Fer 7 \frac{7+\sqrt{53}}{2} 7,140054945 [7;7,7,7…] Étain 8 \frac{8+\sqrt{68}}{2} 8,123105626 [8;8,8,8,…] Plomb 9 \frac{9+\sqrt{85}}{2} 9,109772229 [9;9,9,9…]   n \frac{n+\sqrt{4+n^{2}}}{2}

N°/ La somme d’une suite géométrique infinie est finie :

Comment la somme infinie d’une suite de nombre plus petit que un, peut-elle donner un nombre fini ?

O°/ Le nombre un : Pourquoi faire simple quand on peu faire compliqué.

Voici plusieurs façon d’écrire le nombre un.

(sin x)² + (cos x)² = 1	La fameuse équation de trigonométrie.
	Vous pouvez écrire le nombre 1 comme une somme de 48 fractions différentes, où chaque numérateur est 1 et chaque dénominateur est un produit d’exactement deux nombres premiers.
\Huge \frac{\pi^{4}+\pi^{5}}{e^{6}}\approx 1	Cela signifie que ce triangle est presque un triangle rectangle.

P°/ Le nombre e :

Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c’est-à-dire le nombre défini par ln ⁡ ( e ) = 1 . Cette constante mathématique, également appelée nombre d’Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier[b], vaut environ 2,71828.

La décomposition de cette fonction en série entière mène à la définition de e par Euler comme somme de la série :

Ce nombre apparaît aussi comme limite de la suite numérique de terme général ( 1 + 1 n ) n et dans de nombreuses formules en analyse telles que l’identité d’Euler e ^{i π} = − 1  ou la formule de Stirling qui donne un équivalent de la factorielle. Il intervient aussi en théorie des probabilités ou en combinatoire.

Euler démontre en 1737 que e est irrationnel, donc que son développement décimal n’est pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales. Il explicite pour cela son développement en fraction continue. En 1873, Charles Hermite montre que le nombre e est même transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers.

Mais le plus improbable, c’est que l’on retrouve cette constante e dans la croissance continue.
Si le prix d’un tonneau de blé à 100 euros augmente de 50 %, il se retrouve à 150 euros ; et s’il augmente à nouveau de 50 %, le voilà à 225 euros. La deuxième augmentation (+ 75 euros) est plus élevée que la première (+ 50 euros) car elle s’applique au prix ayant déjà été augmenté. Bref, deux augmentations de 50 % font une augmentation de 125 %. Autrement dit, le prix final n’a pas été multiplié par 2, mais par 2,25.

Continuons d’affiner notre processus :
Imaginez maintenant que le prix du tonneau de blé augmente de 10 % tous les dixièmes de mois, c’est-à-dire en gros tous les trois jours. Cela signifie qu’à la fin du mois il aura subi dix augmentations d’un dixième, c’est-à-dire dix multiplications successives par 1,1. Au total, il aura donc été multiplié par 1,110 qui est approximativement égal à 2,59.
Si maintenant cette quantité avait subi 100 augmentations d’un centième, elle serait multipliée par 1,01100 qui vaut environ 2,705 à la fin du mois.
Et si nous précisons encore, 1 000 augmentations d’un millième auraient produit une multiplication par 2,717. Ces informations sont condensées dans le tableau suivant.

Autrement dit, lorsqu’une somme augmente n fois de n%, cela revient a multiplier cette somme par la constante e.

Lorsqu’elle présenta son introduction en Bourse, la société Google, folie des grandeurs oblige, décida symboliquement de lever 2 718 281 828 dollars, soit e milliards de dollars, arrondi à l’unité.

Q°/ Les nombre parfaits :

En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs sauf lui-même.
Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 6 = 1 + 2 + 3.

Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n, en comptant n cette fois si : 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6.

Un des plus vieux problème des Mathématiques est de trouver un nombre parfait qui soit impair.

1°/ Différentes manières d’écrire les nombres parfaits :

6 = 1 + 2 + 3 = 2² + 2¹ = 110₂ = (1 + 2)x2¹  (Rem : 110₂ est l’écriture de 6 en base 2) 

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 2⁴ + 2³ + 2² = 1³ + 3³ = 11 100₂ = (1 + 2 + 4)x2²

496 = 1 + 2 + 3 … + 31 = 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ = 111 110 000₂ = (1 + 2 + 4 +8 + 16)x2⁴

8128 = 1 + 2 + 3 … + 127 = 2¹² + 2¹¹ + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + … + 15³ = = 1 111 111 000 000₂

2°/ Comment trouver les nombres parfaits ?

     a°/ En -300 av JC Euclide :      
                                                                             
 Partir de 1 puis doubler successivement.       ⇗  Si on obtient un nombre premier, multiplier le par le nombre précédent. On obtient un nombre parfait.
Additionner les nombres au fur et à mesure.  ⇘  Si on n’obtient pas un nombre premier on ne fait rien.

1 = 2⁰ ; 2 = 2¹ ; 4 = 2² ; 8 = 2³ ; 16 = 2⁴ ; 32 = 2⁵ ; 64 = 2⁶ …

1 + 2 = 3  Nbre premier, donc 3 x 2 = 6 = (1 + 2) x 2¹ c’est le premier nombre parfait

1 + 2 + 4 = 7  Nbre premier, donc 7 x 4 = 28 = (1 + 2 + 4) x 2² c’est le second nombre parfait

1 + 2 + 4 + 8 = 15  Pas nbre premier.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31  Nbre premier, donc 31 x 16 = 496 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) x 2⁴ c’est le premier nombre parfait

Etc…

2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = Nbre premier  (2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ) x 2ⁿ = (2ⁿ⁺¹ – 1) x 2ⁿ donne tous les nombres parfaits

Démonstration : posons T = 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2^n-1 + 2ⁿ

                                                       2T = 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹

                          Donc : 2T – T = 2ⁿ⁺¹ – 2⁰ = 2ⁿ⁺¹ – 1 = T

Conclusion : la somme des puissances de 2 de 2⁰ à 2ⁿ est égale à 2ⁿ⁺¹ moins 1.

Exemple : si n = 4 alors le nombre premier = (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴) x 2⁴ = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) x 16 = (2⁵ – 1) x 2⁴ = 496

Conclusion : si (2ⁿ⁺¹ – 1) est un nombre premier alors (2ⁿ⁺¹ – 1) x 2ⁿ sera un nombre parfait et il sera pair car 2ⁿ est obligatoirement pair. Mais Euclide n’a pas démontré que sa méthode était unique.

     b°/ En 100 après JC : Nicomachus énonce 4 conjecture 

1/ Le nième nombre parfait possède n chiffres

2/ Tous les nombres parfaits sont pairs.

3/ Tous les nombres parfaits se terminent alternativement par 6 et 8.

4/ L’algorithme d’Euclide donnent tous nombres parfaits pairs.

5/ Il y a une infinité de nombres parfaits.

Ce qui donne :

     c°/ En 1230 Ibn Fallus démontre que certains sont inexacts.

1/ Le nième nombre parfait possède n chiffres. FAUX

2/ Tous les nombres parfaits sont pairs.

3/ Tous les nombres parfaits se terminent alternativement par 6 et 8. FAUX pour le 5^ième et 6^ième.

4/ L’algorithme d’Euclide donnent tous nombres parfaits pairs.

5/ Il y a une infinité de nombres parfaits.

     d°/ En 1750 Euler trouvera le 8^ième nombres parfaits et démontrera la 4^ième conjecture de Nicomachus.

     e°/ Par la suite au XVIIième siècle, Marin Mersenne travailla sur les nombre premiers et permit de grandes avancées. Mais seulement 12 nombres parfaits furent découvert jusqu’en 1876. Il fallut l’essor des ordinateurs pour en découvrir d’autres. Actuellement, 51 nombres parfaits sont connus. Le plus grands possède 12 640 858 chiffres et est égal à : 2^{20 996 010}(2^{20 996 011}-1).

3°/ La liste :

Mersenne : M(p) = 2^p – 1

Parfait:       P(p) = 2^{p – 1} (2^p – 1)

L’aire des ordinateurs :

R°/ Les factorielles :

La factorielle d’un entier naturel n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Cette opération est notée n!, ce qui se lit soit « factorielle de n », « factorielle n » ou encore « n factorielle ». Cette notation a été introduite en 1808 par Christian Kramp.

Par exemple : 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Cependant que vaut 0! ?
\begin{aligned} & Propriétés \ des \ factorielles : n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n-1) x n = (n-1)! × n = n(n-1)! \\ &Donc : (n-1)! =\frac{n!}{n} \\ &Avec \ n=1 : (1-1)!= 0! = \frac{1!}{1}=\frac{1}{1}=1 \\ &Donc: {\color{red} \boxed{0! = 1}} \end{aligned}

La fonction factorielle admet un prolongement à l’ensemble des nombres décimaux, des nombres négatifs et même des nombres complexes. Il s’agit de la fonction gamma \Gamma :

Valeurs particulières : \begin{aligned} \left(\frac{1}{2} \right)! &=\Gamma \left(\frac{3}{2} \right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2} \approx 0,886... \\ \left(-\frac{1}{2} \right)! &= \Gamma \left(\frac{1}{2} \right)=\sqrt{\pi }\approx 1,772... \\ \left(-\frac{3}{2} \right)! &= \Gamma \left(-\frac{1}{2} \right)=-2\sqrt{\pi }\approx -3,5449... \\ \left(\frac{1}{4} \right)! &= \Gamma \left(\frac{5}{4} \right)\approx 0.906... \\ \pi ! & \approx 7,188 ... \end{aligned}

S°/ Les Kitanos :

Takeshi Kitano est un cinéaste important de notre début du XXIe siècle. En 2011, alors qu’il parrainait, avec David Lynch, l’exposition « Mathématiques, un dépaysement soudain » de la Fondation Cartier à Paris, il y avait exposé lui-même une magnifique pseudo-sphère, figure étonnante qui sans en avoir l’air possède de nombreuses propriétés géométriques en commun avec les sphères classiques.

Cette année-là, le réalisateur japonais avait aussi proposé un défi aux visiteurs de l’exposition : trouver une formule, la plus courte possible, donnant le millésime, c’est-à-dire 2011, en écrivant dans l’ordre les premiers nombres entiers, séparés par des opérations (addition, soustraction, multiplication, division, parenthèses, racines carrées, exposants, factorielle etc.). Kitano proposa ainsi la solution suivante : 2011 = (1 + 2 + 3)⁴ + (5 x 6 x 7 x 8) – (9 x 10 x 11) + 12 + 13. 

Voici quelques solutions :

2011 = (1 + 2 + 3)⁴ − 5 + 6! Et voici l’un des plus courts : − (1²) + (3 !)⁴ + 5 + 6!

2012 = -(1 + 2)! × 3! − sqrt(4 ^ (5 + 6)))

2013 = 1 × 2 + (3!) ^ 4 − 5 + 6!

2014 = 1 + 2 + (3!) ^ 4 − 5 + 6!

2015 = −(1 − ((((2 ^ 3)!) / 4) / 5))

2016 = (((−((1 − 2) − (3!)))!) × sqrt(4)) / 5

2017 = 1 + ((((2 ^ 3)!) / 4) / 5)

2018 = −(1 + 2 − (3!) ^ 4 − 5) − 6!

2019 = −(1 × 2− (3!) ^ 4 − 5) − 6!)

2020 = (1 + 2 + 3 + 4) × ((5 × 6 × 7) – 8) Et voici l’un des plus courts : − (1²) + (3 !)⁴ + 5 + 6!

2021 = ((1+2)!)! + (3!)⁴ + 5

2022 = (1+2) * ((3!)! – 4) – 5! – 6 

2023 = 2023 = 1*2 + (3!)⁴ + 5 + 6!

2024 = 1-2× (3-(4⁵ – 6 ))-7  

2025 = 1 – 2*(3! – 4^5 + 6)  

2026 = 1 + 2 + (3!)⁴ + (5!) * 6 + 7