Thalès serait né autour de 625 avant J.C. à Milet en Asie Mineure (actuelle Turquie). Considéré comme l’un des sept sages de l’Antiquité, il est à la fois mathématicien, ingénieur, philosophe et homme d’état, mais son domaine de prédilection est l’astronomie.
Il aurait prédit avec une grande précision l’éclipse du soleil du 28 mai de l’an – 585. Ce n’est peut-être qu’une légende, Thalès en explique cependant le phénomène.
3°/ Pyramide de Khéops :
Lors de son premier voyage en Égypte, Thalès applique le théorème qui porte aujourd’hui son nom pour mesurer la hauteur de la grande pyramide de Khéops. Citons Thalès : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. » Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre. L’idée ingénieuse de Thalès est la suivante : « A l’instant où mon ombre sera égale à ma taille, l’ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »
4°/ Démonstration animée :
Démonstration faites par Euclide en -350 avt JC.
5°/ Thalès dans le monde :
En fait, Thalès n’est le découvreur de ce théorème, car on en trouve la trace dans la tablette babylonienne MLC 1950 (datée entre -1900 et -1600) qui décrit un exercice dans lequel le scribe cherche à calculer les longueurs des bases d’un trapèze rectangle. Le théorème de Thalès n’apparaît dans les ouvrages scolaires français qu’à la fin du XIXe siècle.
En Angleterre le théorème de Thalès s’appelle le théorème d’interception (Intercept theorem) et en Allemagne le théorème des rayons (Strahlensatz).
– En Allemagne et dans les pays anglo-saxons, le théorème dit de Thalès est différent : Théorème de Thalès anglo-saxon : un angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Il serait vraiment dû à Thalès… – En Suisse le nom de Thalès concerne la hauteur dans un triangle rectangle : Théorème de Thalès suisse : AH² = BHxHC
Dans le triangle ABH rectangle en H. Dans le triangle ACH rectangle en H. Dans le triangle ABC rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore. D’après le théorème de Pythagore. D’après le théorème de Pythagore. . AB² = AH² + BH² AC² = AH² + HC² BC² = AB² + AC² Donc : AH² = AB² – BH² Donc : AH² = AC² – CH²
On peut construire une machine à calculer les multiplications grâce au théorème de Thalés et par une simple lecture de longueur. Pour cela il faut 2 bâtons gradués AB et AC sécants en A, et 2 autres bâtons DF et EG parrallèles entre eux qui coulissent sur AB et AC (D et E seront sur AB, F et G sur AC). La longueur AD doit être de 1 cm, et en déplaçant les points E et F, tout en gardant les bâtons DF et EG parallèles, la longueur AG représentera la multiplication de AF fois AE.
b°/ Le bâton de Jacob :
Le bâton de Jacob permet de mesurer des angles et des longueurs inaccessibles. Il est composé de 2 bâtons gradués et perpendiculaires. Dans les animations suivantes, vous devez mesurer la hauteur de l’arbre.
Plus on rate et plus la probabilité que cela réussisse augmente !!
Par exemple, leur fusée n’était pas très au point mais ils avaient calculé qu’elle avait une chance sur un million de fonctionner.
Ils se dépêchèrent donc de bien rater les 999 999 premiers essais pour être sûrs que le millionième fonctionne.
3°/ Machines à sous Le jackpot :
4°/ La planche de Galton :
Issu d’une famille de scientifiques, Francis Galton (1822-1911) était le cousin de Charles Darwin et voulait justifier la transmission des possibilités intellectuelles par l’hérédité pour améliorer l’espèce humaine… Il s’intéressa à la géographie, la météorologie, l’anthropologie. Il fut l’un des pionniers en statistique, dans un but purement utilitaire. Ses travaux dans le domaine des statistiques restèrent cependant secondaires pour Galton, à côté de ses études sur l’origine des espèces. Il créa une planche à deux étages afin d’étudier les lois du hasard.
Dans la planche de Galton, plusieurs billes tombent au travers d’une pyramide de clous sur une planche inclinée. En bas se trouvent des boîtes dans lesquelles tombent les billes. La bille finit sa trajectoire en tombant dans une des boîtes du bas. On trouve quelquefois ce jeu dans les foires.
L’animateur du stand attribuera-t-il la même valeur à chaque boîte de la planche ?
Voici une animation qui confirme que les parties extérieures sont plus difficiles à obtenir.
Voici la probabilité qu’une bille tombe sur un clou. 1 chance sur 1 pour le premier et 1/1024 pour le clou de gauche et celui de droite de la dernière ligne.
Plus la fraction finale est grande et plus la probabilité de gagner l’est aussi. L’animateur du stand attribuera donc les plus beaux lots vers l’extérieur de la planche.
Le dilemme du prisonnier, énoncé en 1950 par Albert W. Tucker à Princeton, caractérise en théorie des jeux une situation où deux joueurs auraient intérêt à coopérer, mais où, en l’absence de communication entre les deux joueurs, chacun choisira de trahir l’autre si le jeu n’est joué qu’une fois. La raison est que si l’un coopère et que l’autre trahit, le coopérateur est fortement pénalisé. Pourtant, si les deux joueurs trahissent, le résultat leur est moins favorable que si les deux avaient choisi de coopérer.
Un jeu télévisé américain est basé sur ce principe. Deux joueurs ont devant eux 2 boules dans lesquelles il y a soit le mot « Voler » soit « Partager ». Ils ont le droit de se concerter avant de choisir leur boule et donc ils peuvent établir une stratégie commune. Il y a bien sur une belle somme d’argent à gagner. Quelle stratégie utiliseriez-vous ?
Joueur n°1
Joueur n°2
Résultat
Voler
Voler
Les 2 perdent : 0% ; 0%
Voler
Partager
Joueur n°1 gagne tout : 100% ; 0%
Partager
Voler
Joueur n°2 gagne tout : 0% ; 100%
Partager
Partager
Les 2 partagent la cagnotte : 50% ; 50%
La stratégie la plus prudente est de choisir « Partager » pour les 2 joueurs. Le gain est moindre mais certain.
Cependant, pourquoi se contenter de la moitié si on sait que l’autre va choisir « Partager ». Je prend « Voler » est je gagne à coup sûr. Mais si l’autre a le même raisonnement on perdra tous les 2.
Comment être sûr que l’autre va jouer « Partager » ? Et bien un joueur a trouvé la solution : il annonce a son adversaire qu’il va jouer « Voler », et lui demande de jouer « Partager ». Il gagnera toute la mise mais lui promet de partager après l’émission. Gros dilemme pour l’adversaire, qui est certain que s’il joue « Voler » ils perdront tous les deux, puisqu’ils les 2 « Voler » seront sur la table. Le voilà obligeait de jouer « Partager » et d’espérer qu’il n’a pas affaire à un menteur … De toute façon jouer « Partager » est sa seule solution pour espérer gagner quelque chose. Son choix est fait, et ils découvrent leurs boules : 2 « Partager » !!! Le premier joueur a influensé son adversaire et la obligé a jouer « Partager », il n’a plus qu’a jouer lui aussi « Partager » et ils partageront la cagnotte.
6°/ Divers exercices simples :
7°/ Divers exercices surprenants :
7-1 : Garçon ou fille ?
Une famille a 2 enfants, dont au moins un est un garçon. Quelle est la probabilité que le second soit aussi un garçon ?
7-2 : Pile ou face :
Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois la même face si on lance 3 fois une pièce équilibrée ?
1ière proposition : si on lance 3 fois une pièce équilibrée on est obligé d’avoir 2 fois la même face, donc avoir 3 faces identiques dépend seulement du troisième lancé. Donc la réponse est 1/2.
2ième proposition : visualisons tous les lancés.
En représentant toutes les issues grâce à l’arbre de Bernoulli on observe qu’il y a 2 issues (PPP et FFF) sur 8 possibles.
Donc la réponse est 1/8.
La probabilité d’obtenir 3 lancé identique est donc de 1/2 ou de 1/8 ?
7-3 : Sally Clark :
Une histoire tragique mais véridique. En 1999, une anglaise du nom de Sally Clark perd ses 2 enfants de la mort subite du nourrisson. Le raisonnement du procureur était le suivant. A cette époque il y avait 1 chance (malchance…) sur 8500 qu’un nourrisson meure de mort subite en Angleterre. La probabilité que les deux bébés décèdent de la mort subite était donc de \frac{1}{8500}\times \frac{1}{8500}=\frac{1}{72 \ 000 \ 000} pour une population de 49 millions !!
Elle fut fut reconnue coupable et condamnée à la prison à vie.
Fort heureusement pour elle les Mathématiciens s’en sont mêlés et ont avancés 2 arguments :
– le premiers était qu’il y avait de forte chance que ces morts soient d’origines congénitales et donc liées, c’est à dire non-indépendantes. Il est alors impossibles de multiplier les probabilités.
– le deuxième était qu’il y a par exemple 1 chance sur 20 millions de gagner au loto, et ce n’est pas pour cela qu’il n’y a pas de gagnant.
En janvier 2003, on s’aperçoit que le docteur Alan Williams, le médecin-légiste qui avait examiné les deux nourrissons, n’avait pas dévoilé le rapport microbiologique lors du procès, qui montrait pourtant que le second enfant était mort de causes naturelles. La condamnation est annulée et Sally Clark libérée, après avoir purgé trois ans de prison. Pour le journaliste Geoffrey Wansell, il s’agit de « l’une des plus importantes erreurs judiciaires de l’histoire de la justice britannique moderne ». À la suite de cette annulation, l’avocat-général demanda qu’on examinât des centaines d’autres dossiers, et les condamnations de deux autres femmes, Angela Cannings et Donna Anthony furent annulées. Le procès d’une autre femme, Trupti Patel, avait lieu en même temps pour des faits similaires et celle-ci est acquittée. Clark développa par la suite d’importants problèmes psychiatriques et mourut chez elle en mars 2007 d’une overdose d’alcool.
7-4 : Attention aux conclusions hâtives :
Vous connaissez certainement ce slogan : celui qui conduit, c’est celui qui ne boit pas. Une statistique donne en effet le ton : l’alcool est en cause dans près de 30% des accidents mortels.
Est-ce à dire que 70% les accidents qui restent sont causés par des buveurs d’eau ?
En réalité cette dernière affirmation est un peu trop rapide et simpliste. En effet, l’alcool est en cause dans près de 30% des accidents mortels, signifie que si l’on choisit au hasard un accident mortel, la probabilité que l’alcool soit en cause dans celui-ci est d’environ 0.3, soit 30%. Mais fort heureusement tout le monde ne prend pas la voiture après avoir bu (on évalue à 2% ces irresponsables), et l’alcool est simplement une cause supplémentaire d’accident que l’on pourrait éviter.
Pour être exact et rigoureux, il est bon de préciser que l’on a 21 fois plus de « chance » d’avoir un accident après avoir consommer de l’alcool.
7-5 : Problème de Monty Hall :
Le problème de Monty Hall ou Paradoxe deMonty Hall, est librement inspiré du jeu télévisé américain Let’s Make a Deal. Il porte le nom de celui qui a présenté ce jeu aux États-Unis pendant treize ans, Monty Hall.
Le joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l’une d’entre elles, se trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Le joueur doit tout d’abord désigner une porte. Puis le présentateur doit ouvrir une porte qui n’est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début), il montre donc une chèvre. Le candidat a alors le droit d’ouvrir la porte qu’il a choisie initialement, ou de changer d’avis et d’ouvrir la troisième porte. Que doit-il faire pour avoir le plus de chance de gagner la voiture ?
Le joueur ne change pas d’avis et garde son 1ier choix :
Il a une chance sur trois de choisir au départ la porte masquant la voiture. S’il maintient son choix après que le présentateur lui a montré la chèvre, il gagne exactement dans les cas où ce premier choix était le bon, donc avec probabilité 1/3.
Le joueur change d’avis et prend la 3ième porte :
Il change de porte après avoir vu la chèvre. Si le joueur choisit la porte A en premier et change ensuite : – 1ier cas : la voiture était en A et il perd donc (il n’aurait pas dû changer). – 2ième cas : Monty ouvre la porte C avec la chèvre. Le joueur choisit la B avec la voiture. – 3ième cas : Monty ouvre la porte B avec la chèvre. Le joueur choisit la C avec la voiture. Il gagne donc avec probabilité 2/3.
7-6 : Le paradoxe de Bertrand :
Suivant comment on présente un problème, la solution peut être radicalement différente : Le paradoxe de Bertrand.
7-7 : Égoïste ou non ?
Voici un jeu très simple. Il y a 101 participants qui ont un choix unique à faire :
Appuyer sur le bouton « Pour moi » et vous gagnez 250 €.
Appuyer sur le bouton « Pour les autres » et vous gagnez ne gagnez rien mais faites gagner 10 € à tous les autres.
A°/ Que faites-vous ? B°/ Compléter le tableau :
Actions
Je gagne
Les autres gagnent
Tout le monde appuie sur « Pour moi »
250 €
250 €
Tout le monde appuie sur « Pour les autres »
100 x 10 = 1 000 €
100 x 10 = 1 000 €
Vous appuyez sur « Pour moi » et les 100 autres sur « Pour les autres »
250 + 100 x 10 = 1 250 €
99 x 10 = 990 €
Vous appuyez sur « Pour les autres » et les 100 autres sur « Pour moi »
Jouons à un jeu. Voici 10€ que je mets aux enchères. Celui qui me propose le plus remporte ces 10€, mais celui qui a fait l’enchère juste avant me donne sa proposition et repart sans rien !!
C’est parti …
Explications :
Normalement les enchères devraient démarrer à 1 € puis monter progressivement. A partir de 6€, je suis gagnant car je récupère 6 + 5 = 11€.
Mais jusqu’à 9€, le joueur est gagnant alors que celui qui a fait la mise précédente ne voudra certainement pas payer pour rien. Alors il renchérit et les enchères s’envolent, jusqu’où, mystère. Un très bon moyen de voir la cupidité de chacun.
7-9 : Le Paradoxe du singe savant :
Placez un singe devant une machine à écrire et attendez qu’il appuie au hasard sur dix touches du clavier, puis regardez le résultat. S’il a écrit la suite de lettres « AKDUIPCHQY », vous n’allez pas vous étonner. Mais si vous lisez « IMPROBABLE », vous allez trouver ça… improbable. Pourtant, les deux options ont la même chance de se produire.
Si ce même singe tape à la machine pendant un temps suffisamment long il finira par écrire Harry Potter, voire toute la série si on lui donne un temps suffisamment long !!!
Il y a 1 084 170 lettres dans le premier tome, donc pour chacune de ces lettres, le singe a une chance sur 1 084 170 d’écrire la bonne lettre. La probabilité qu’il écrive tout le livre est donc de une chance sur 1 084 170 puissance 1 084 170. Bonne chance à lui, mais c’est possible. Ce paradoxe s’explique grâce au lemme de Borel-Cantelli.
En 1913, dans un article intitulé « La mécanique statistique et l’irréversibilité », le mathématicien Émile Borel est l’un des premiers à utiliser l’analogie des singes dactylographes.
« Concevons qu’on ait dressé un million de singes à frapper au hasard sur les touches d’une machine à écrire et que, sous la surveillance de contremaîtres illettrés, ces singes dactylographes travaillent avec ardeur dix heures par jour avec un million de machines à écrire de types variés. Les contremaîtres illettrés rassembleraient les feuilles noircies et les relieraient en volumes. Et au bout d’un an, ces volumes se trouveraient renfermer la copie exacte des livres de toute nature et de toutes langues conservés dans les plus riches bibliothèques du monde. Telle est la probabilité pour qu’il se produise pendant un instant très court, dans un espace de quelque étendue, un écart notable de ce que la mécanique statistique considère comme le phénomène le plus probable. »
Combien faut-il de personnes pour que l’on ait 50 % de chance de trouver deux personnes qui ont la même date d’anniversaire ? La logique voudrait qu’il en faille beaucoup, mais …
7-10 : Protéger les avions de combats :
Pendant la Seconde Guerre mondiale, les Alliés ont étudié les avions endommagés revenant du combat, cartographiant les impacts de balles pour décider où renforcer les avions. Les données ont montré des dommages principalement sur les ailes et le fuselage.
Quelles zones renforceriez vous ?
1/ Les zones en rouges touchées par les balles ? 2/ Les zones non atteintes ?
Le statisticien Abraham Wald s’est rendu compte de quelque chose de crucial : l’armée ne regardait que les avions qui revenaient et qui donc avait résisté aux balles. Les avions détruits, eux n’étaient pas auscultés et n’avaient pas résisté aux balles.
Il faut donc renforcer les zones non atteintes, car les zones rouges ont permis aux avions de revenir à la base.
